全微分方程是数学中研究二元函数变化规律的重要工具。它通过研究函数的全微分，揭示了函数在某一区域内的变化趋势，对于解决实际问题具有重要意义。

1.全微分表达式

当(△x²+△y²)^1/2-&gt0时，这就是二元函数“导数”的定义式，即全微分表达式。与一元函数不同的是，这里的“导数”包含了两个因子：X偏导数以及Y偏导数，他们共同决定了整个曲面的变化。

2.全微分方程的通积分形式

当方程是全微分方程时，它可写成M(x,y)dx+N(x,y)dy，于是其通积分就是∫M(x,y)dx+∫N(x,y)dy。为任意常数。事实上，设是原方程的解，则有∫M(x,y)dx+∫N(x,y)dy=∫du，即∫M(x,y)dx+∫N(x,y)dy=∫d(u(x,y))。这表明满足方程。

3.全微分的定义

该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。记作：dz=fx(x,y)△x+fy(x,y)△y。定理1表明，如果函数z=f(x,y)在点0(x0,y0)处可微，则z=f(x,y)在0(x0,y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x(x0,y0)=A,f′y(x0,y0)=。

4.全微分公式

全微分公式为dz=z(x)dx+z(y)dy。其中A、不依赖于Δx,Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微。

5.二元函数全微分的公式

二元函数全微分的公式为∂M/∂y=∂N/∂x。全微分方程，又称恰当方程。若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，则称其为全微分方程。

6.求解全微分方程

为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法。对于不是全微分方程的情况，需要通过适当变形转化为全微分方程，然后再求解。

7.全微分方程的应用

全微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，可以利用全微分方程描述物体在空间中的运动规律；在工程学中，可以用于研究流体的运动和热传导问题；在经济学中，可以用于研究市场供需关系等。

全微分方程是研究二元函数变化规律的重要工具，通过研究函数的全微分，我们可以揭示函数在某一区域内的变化趋势。掌握全微分方程的定义、公式及其求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。